大変申し訳ございません。Mac OS X 10.9のパソコンにおいて、動画をフルスクリーンで再生した状態で投写を実行すると、途中で投写映像が止まる場合がございます。 

そのような場合は、動画再生の画面表示サイズを変更してください。 

設定変更例：

QuickTime Player メディアプレイヤーとしてQuickTime Playerをご使用の場合は、メニューバー［表示］→「画面の大きさに合わせる」を選択してください。